Problemas de logaritmos de actos pdf
1 11.5 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 11.5 OBJETIVOS 1. Resolver una ecuación logarítmica 2. Resolver una ecuación exponencial 2. Resolver una ecuación exponencial Resolver una aplicación que involucre una ecuación exponencial Gran parte de la importancia de las propiedades de los logaritmos desarrolladas en la sección anterior radica en la aplicación de esas propiedades a la solución de ecuaciones que involucran logaritmos y exponenciales. Nuestro trabajo en esta sección considerará técnicas de solución para ambos tipos de ecuaciones. Empecemos con una definición. Definiciones: Ecuación logarítmica Una ecuación logarítmica es una ecuación que contiene una expresión logarítmica. Hemos resuelto algunos ejemplos sencillos en la sección Repasemos por un momento. Para resolver log 3 x 4 para x, recuerda que simplemente convertimos la ecuación logarítmica en forma exponencial. Aquí, x 3 4 por lo que x 81 y 81 es la solución a la ecuación dada. Ahora, ¿qué pasa si la ecuación logarítmica implica más de un término logarítmico? El ejemplo 1 ilustra cómo deben aplicarse entonces las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 1 Resolución de una ecuación logarítmica Resuelve cada una de las ecuaciones logarítmicas. (a) log 5 x log La ecuación original puede escribirse como NOTA Aplicamos la regla del producto para logaritmos: log b M log b N log b MN log 5 3x 2 Ahora, debido a que sólo está involucrado un solo logaritmo, podemos escribir la ecuación en la forma exponencial equivalente: 3x 5 2 3x 25 x
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Determina primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de modo que cada lado use la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y usa las propiedades de los logaritmos para resolver.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dada por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.
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En la sección sobre funciones logarítmicas, resolvimos algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de los logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos usar para resolver ecuaciones logarítmicas.
No siempre es posible o conveniente escribir las expresiones con la misma base. En ese caso, solemos tomar el logaritmo común o el logaritmo natural de ambos lados una vez aislada la exponencial.
Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado tanto si usamos el logaritmo común como el natural (prueba a usar el logaritmo natural en el último ejemplo, ¿obtuviste el mismo resultado?) Cuando la exponencial tiene base e, usamos el logaritmo natural.
En las secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que estaban modeladas con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos muchas más opciones para resolver estas ecuaciones, podemos resolver más aplicaciones.
Los padres de Jermael invierten 10.000 dólares para sus gastos universitarios cuando cumple un año. Esperan que las inversiones valgan 50.000 dólares cuando cumpla 18 años. Si los intereses se acumulan continuamente, ¿qué tasa de crecimiento necesitarán aproximadamente para alcanzar su objetivo?
Apuntes de funciones exponenciales y logarítmicas pdf
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Como Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento incontrolado de la población, como el de los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.
La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualquier número real y donde[latex]{b}^{S}={b}^{T}\,[/latex]si y sólo si
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno-a-uno para establecer los exponentes iguales entre sí, y resolver la incógnita.