Función cuadrática
Las antenas curvadas, como las que se muestran en la figura \(\PageIndex{1}), se utilizan comúnmente para enfocar las microondas y las ondas de radio para transmitir señales de televisión y teléfono, así como la comunicación por satélite y la nave espacial. La sección transversal de la antena tiene la forma de una parábola, que puede ser descrita por una función cuadrática.
En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que frecuentemente modelan problemas que involucran el área y el movimiento de los proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado, por lo que proporcionan una buena oportunidad para un estudio detallado del comportamiento de las funciones.
La gráfica de una función cuadrática es una curva en forma de U llamada parábola. Una característica importante de la gráfica es que tiene un punto extremo, llamado vértice. Si la parábola se abre hacia arriba, el vértice representa el punto más bajo de la gráfica, o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto de la gráfica, o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en la gráfica. La gráfica también es simétrica, con una línea vertical que pasa por el vértice, llamada eje de simetría. Estas características se ilustran en la Figura \ (\PageIndex{2}\).
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Las funciones cuadráticas son algunas de las funciones algebraicas más importantes y deben ser comprendidas a fondo en cualquier curso de álgebra de la escuela secundaria moderna. Las propiedades de sus gráficas, como el vértice y los interceptos x e y, se exploran de forma interactiva mediante un applet html5.
También se puede utilizar este applet para explorar la relación entre los interceptos x de la gráfica de una función cuadrática f(x) y las soluciones de la correspondiente ecuación cuadrática f(x) = 0 . La exploración se realiza cambiando los valores de los 3 coeficientes a , b y c incluidos en la definición de f(x) .
donde a , b y c son números reales y a no es igual a cero. La gráfica de la función cuadrática se llama parábola. Es una curva en forma de “U” que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo del coeficiente a .
Utiliza las casillas del panel izquierdo de la ventana del applet para ajustar los coeficientes a , b y c a los valores de los ejemplos anteriores, “dibuja” y observa la gráfica obtenida. Observa que la gráfica correspondiente a la parte a) es una parábola que se abre hacia abajo ya que el coeficiente a es negativo y la gráfica correspondiente a la parte b) es una parábola que se abre hacia arriba ya que el coeficiente a es positivo. Puedes cambiar los valores de los coeficientes a, b y c y observar las gráficas obtenidas.
Raíces de la ecuación cuadrática
La forma estándar de la ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0, donde ‘a’ es el coeficiente principal y es un número real distinto de cero. Esta ecuación se llama “cuadrática” porque su grado es 2, ya que “quad” significa “cuadrado”. Aparte de la forma estándar de la ecuación cuadrática, una ecuación cuadrática puede escribirse de otras formas.
Convirtamos la forma estándar de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 en la forma de vértice a (x – h)2 + k = 0 (donde (h, k) es el vértice de la función cuadrática f(x) = a (x – h)2 + k). Observa que el valor de “a” es el mismo en ambas ecuaciones. Vamos a igualarlas para conocer la relación entre las variables.
El proceso de convertir la forma de vértice de una ecuación cuadrática en la forma estándar es bastante sencillo y se realiza simplemente evaluando (x – h)2 = (x – h) (x – h) y simplificando. Consideremos el ejemplo anterior 2 (x – 1)2 + 1 = 0 y convirtámoslo de nuevo en forma estándar.
Convirtamos la forma estándar de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 en la forma de vértice a (x – p)(x – q) = 0. Aquí, (p, 0) y (q, 0) son los intersticios x de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c) y, por tanto, p y q son las raíces de la ecuación cuadrática. Por tanto, basta con utilizar cualquiera de las técnicas de resolución de ecuaciones cuadráticas para encontrar p y q.
Factorización de ecuaciones cuadráticas
El proceso de convertir tu ecuación de cuadrática estándar a la forma de vértice implica realizar un conjunto de pasos llamados completar el cuadrado. (Para saber más sobre completar el cuadrado, asegúrate de leer este artículo).
El siguiente paso es completar el cuadrado. En este caso, el cuadrado que estás completando es la ecuación dentro de los paréntesis -al añadir una constante, la estás convirtiendo en una ecuación que puede ser escrita como un cuadrado.
Ahora, normalmente tendrías que completar el cuadrado en el lado derecho de la ecuación dentro del paréntesis. Sin embargo, $x^2$ ya es un cuadrado, así que no necesitas hacer nada más que mover la constante del lado izquierdo de la ecuación de vuelta al lado derecho:
Laura se graduó magna cum laude en el Wellesley College con una licenciatura en Música y Psicología, y obtuvo un máster en Composición en la Longy School of Music del Bard College. Obtuvo una puntuación de 99 percentiles en el SAT y el GRE y le encanta asesorar a los estudiantes sobre cómo sobresalir en la escuela secundaria.