La fórmula de Cardano
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Prueba de la fórmula cúbica
Simplificando la ecuación llegamos a que es verdadera todo el tiempo, no depende del valor de , por lo que no importa el valor de la ecuación es siempre verdadera, y como tiene infinitos valores posibles tenemos infinitas soluciones para esta ecuación.
Elegimos 2 valores de y obtenemos el valor respectivo de y luego graficamos los dos puntos en un plano y el nuevo trazamos la recta que pasa por los dos puntos, y la coordenada del punto de intersección de la recta y el eje x es la solución de la ecuación.
Llamamos ecuación de segundo grado, a toda ecuación con la forma estándar con , y siendo números reales y distintos de cero. Se llama ecuación de segundo grado porque la mayor potencia de en esta ecuación es 2 (es decir ).
Ahora la resolución es sencilla ya que tenemos el producto de dos de primer grado igual a cero entonces sabemos con seguridad que o el primer término del producto es igual a cero o el segundo es igual a cero, lo que significa que o , resolvemos cada término de primer grado del lado izquierdo, obtenemos:
Polinomio de tercer orden
La fórmula de la ecuación cúbica se utiliza para representar la ecuación cúbica. Un polinomio de grado tres se conoce como polinomio cúbico o podemos llamarlo ecuación cúbica. Las ecuaciones cúbicas tienen al menos una raíz real y pueden tener hasta 3 raíces reales. Las raíces de una ecuación cúbica también pueden ser imaginarias, pero al menos una debe ser real. A continuación se explica la fórmula de la ecuación cúbica junto con algunos ejemplos resueltos. Vamos a explorarlos.
La fórmula de la ecuación cúbica también se puede utilizar para obtener la curva de una ecuación cúbica. Representar una ecuación cúbica utilizando la fórmula de la ecuación cúbica es muy útil para encontrar las raíces de la ecuación cúbica. Un polinomio de grado n tendrá n números de ceros o raíces. La ecuación cúbica tiene la siguiente forma:
Primero comprobaremos si podemos factorizar la ecuación cúbica o no, si no se puede factorizar tenemos que utilizar el método de la división sintética. Pero en este caso, por inspección, podemos decir que esta ecuación se puede resolver por factorización. Veamos cómo.
Fórmula de la ecuación cúbica
Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, c y d de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:
No es necesario que los coeficientes sean números reales. Gran parte de lo que se trata a continuación es válido para los coeficientes de cualquier campo con característica distinta de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).
En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció sistemáticamente y resolvió numéricamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px2 + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0, y dos de ellas con q = 0.[11]