Descomposición de Lu
Carl Friedrich Gauss vivió entre finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, pero sigue siendo considerado uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos últimos siglos.
Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Observe que la matriz se escribe de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: \Los términos de x van en la primera columna, los de y en la segunda y los de z en la tercera. Es muy importante que cada ecuación se escriba en la forma estándar \(ax+by+cz=d\) para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es \(0\).
Eliminación gaussiana c++
Eliminación de Gauss-JordanLa eliminación de Gauss-Jordan se puede utilizar para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones es: {eq}2x+3y=14 {/eq} {eq}3x-7y=-25 {/eq} Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un valor de las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema. En el ejemplo anterior, la solución del sistema de ecuaciones es {eq}x=1 {/eq} y {eq}y=4 {/eq}. Esto se considera una solución del sistema de ecuaciones porque los valores de x e y hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo que se puede utilizar para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Este algoritmo es particularmente útil para resolver sistemas de ecuaciones con tres o más ecuaciones y tres o más variables. Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando la eliminación de Gauss-Jordan, el sistema de ecuaciones debe escribirse como una matriz aumentada. Cualquier sistema lineal de ecuaciones puede escribirse como una matriz aumentada. Por ejemplo, el sistema lineal de ecuaciones de abajo: {eq}4x-2y+3z=1 {/eq} {eq}x+3y-4z=-7 {/eq} {eq}3x+y+2z=5 {/eq} puede escribirse como la siguiente matriz aumentada: {eq} {left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -2 & 3&1\\\\\ 1 & 3 & -4 &-7\ 3&1&2&5 \end{array}\right] {/eq}
Calculadora de Gauss-Jordan
Encontrar el conjunto de todas las soluciones es resolver el sistema. Para resolver un sistema lineal no es necesario hacer conjeturas ni tener suerte. Hay un algoritmo que siempre funciona. El siguiente ejemplo presenta ese algoritmo, llamado método de Gauss. Transforma el sistema, paso a paso, en uno con una forma que se resuelve fácilmente.
La mayor parte de esta subsección y la siguiente consisten en ejemplos de resolución de sistemas lineales por el método de Gauss. Lo utilizaremos a lo largo de este libro. Es rápido y fácil. Pero, antes de llegar a esos ejemplos, mostraremos primero que este método también es seguro en el sentido de que nunca pierde soluciones ni recoge soluciones extrañas.
se escriben como una sola operación). En este segundo sistema, las dos últimas ecuaciones implican sólo dos incógnitas. Para terminar, transformamos el segundo sistema en un tercer sistema, en el que la última ecuación implica sólo una incógnita. Esta transformación utiliza la segunda fila para eliminar
{\displaystyle {\begin{array}{*{3}{rc}r}2sin \alpha &-&cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\4sin \alpha &+&2\cos \beta &- &2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9end{array}}
Eliminación gaussiana en Mathematica
Resolver sistemas lineales de tres variables y tres ecuaciones es más difícil, al menos al principio, que resolver sistemas de dos variables y dos ecuaciones, porque los cálculos implicados son más complicados; hay muchas oportunidades de cometer errores por descuido. (Hablo por dolorosa experiencia.) Así que, cuando pases de los sistemas lineales de dos variables a situaciones más complicadas, tendrás que ser muy ordenado en tu trabajo, y deberías planear usar mucho papel de borrador. Mucho, mucho papel de borrador.
(La metodología para resolver estos sistemas de ecuaciones más grandes es una extensión del método de resolución por adición de dos variables, así que asegúrate de que conoces bien este método y puedes utilizarlo correctamente de forma consistente).
Aunque el método de solución se basa en la adición/eliminación, intentar hacer la adición real tiende a ser rápidamente confuso, por lo que existe un método sistematizado para resolver sistemas lineales de tres o más variables. Este método se llama “eliminación gaussiana”.
(Este método de solución lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, aunque en realidad los europeos habían obtenido este método de Isaac Newton un par de siglos antes, quien lo había ideado de forma independiente unos mil quinientos años después de que los chinos lo hubieran desarrollado).