Reducir el orden de la ecuación diferencial
El método se denomina de reducción de orden porque reduce la tarea de resolver la ecuación \ref{eq:5.6.1} a la resolución de una ecuación de primer orden. A diferencia del método de los coeficientes indeterminados, no requiere que \(P_0\), \(P_1\) y \(P_2\) sean constantes, ni que \(F\) tenga ninguna forma especial.
(¡No vale la pena memorizar las fórmulas para \(Q_0\) y \(Q_1\)! Dado que la ecuación \ref{ec:5.6.5} es una ecuación lineal de primer orden en \(u’\), podemos resolverla para \(u’\) por variación de parámetros como en la sección 1.2, integrar la solución para obtener \(u\), y luego obtener \(y\) de la ecuación \ref{ec:5.6.3}.
b. Dejando que \(C_1=C_2=0\) en la ecuación \ref{req:5.6.10}, vemos que \(y_{p_1}=x+1\) es una solución de la ecuación \ref{req:5.6.6}. Dejando que \(C_1=2\) y \(C_2=0\), vemos que \(y_{p_2}=x+1+x^2e^x\) es también una solución de la ecuación \ref{q:5.6.6}. Dado que la diferencia de dos soluciones de la ecuación \ref{q:5.6.6} es una solución de la ecuación \ref{q:5.6.7}, \(y_2=y_{p_1}-y_{p_2}=x^2e^x\) es una solución de la ecuación \ref{q:5.6.7}. Dado que \(y_2/y_1\) es inconstante y ya sabemos que \(y_1=e^x\) es una solución de la ecuación \ref{{c:5.6.6}, el teorema 5.1.6 implica que \(\{e^x,x^2e^x\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación \ref{c:5.6.7}.
Ecuación diferencial lineal
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En general, encontrar soluciones a este tipo de ecuaciones diferenciales puede ser mucho más difícil que encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de coeficiente constante. Sin embargo, si ya conocemos una solución de la ecuación diferencial podemos utilizar el método que utilizamos en la última sección para encontrar una segunda solución. Este método se llama reducción de orden.
Nótese que al simplificar los únicos términos que quedan son los que implican las derivadas de \(v\). El término que involucra a \(v\) desaparece. Si has hecho todo el trabajo correctamente esto debería ocurrir siempre. A veces, como en el caso de las raíces repetidas, el primer término de la derivada también desaparece.
Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
Obtenga el máximo viendo este tema en su grado actual. Elige tu curso ahora. Estás un paso más cerca de obtener una mejor nota.Aprende con menos esfuerzo obteniendo acceso ilimitado, seguimiento del progreso y mucho más.Aprende más IntroducciónLecciones Reducción de orden
El método de reducción de orden para resolver una ecuación diferencial de segundo orden se basa en la idea de resolver una tras otra las ecuaciones diferenciales de primer orden que se han derivado de la ecuación original de segundo orden para simplificar el problema. El nombre de este método proviene exactamente de este procedimiento, ya que podemos decir literalmente que al resolver ecuaciones diferenciales de primer orden para encontrar la solución del problema “reducimos” el orden de la ecuación original.
Una vez que tenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden para resolver el problema, podemos trabajar con ellas utilizando enfoques más sencillos como el método de las ecuaciones separables o la ecuación de Bernoulli, etc. Cualquiera de los enfoques que se seleccione depende del conjunto de ecuaciones que se tenga que resolver, a lo largo de este artículo iremos resolviendo algunos ejemplos diferentes para mostrar la metodología paso a paso.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
ResumenSe mejora el método de reducción de ecuaciones diferenciales, aplicable a cualquier modelo cinético. La mejora consiste en tener en cuenta sólo aquellos pasos del proceso cuyas tasas son superiores a un determinado valor de un umbral de significación en cada momento del tiempo. Se estima el error debido a la aproximación del modelo inicial por la solución reducida. Se demuestra que, a un valor suficientemente bajo del umbral de significación, este error puede ser tan pequeño como se desee. Se dan ejemplos para ilustrar la eficacia del uso del método de reducción refinada.
Kinetics and Catalysis 43, 34-37 (2002). https://doi.org/10.1023/A:1014288810523Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard