Fórmula de la pendiente de una recta secante
Existen algunas conexiones estrechas entre la búsqueda de un mínimo local y la resolución de un conjunto de ecuaciones no lineales. Dado un conjunto de ecuaciones en incógnitas, buscar una solución es equivalente a minimizar la suma de cuadrados cuando el residuo es cero en el mínimo, por lo que existe una conexión especialmente estrecha con los métodos de Gauss-Newton. De hecho, el paso de Gauss-Newton para la minimización local y el paso de Newton para las ecuaciones no lineales son exactamente los mismos. Además, para una función suave, el método de Newton para la minimización local es el mismo que el método de Newton para las ecuaciones no lineales . No es sorprendente que muchos aspectos de los algoritmos sean similares; sin embargo, también hay diferencias importantes.
Otra cosa en común con los algoritmos de minimización es la necesidad de algún tipo de control de pasos. Normalmente, el control de pasos se basa en los mismos métodos que la minimización, excepto que se aplica a una función de mérito, normalmente la norma 2 suave al cuadrado, .
Cuando este paso se añade al punto , es fácil ver por qué los pasos van a la línea . Esta es una característica particular de este problema, que no es típica para la mayoría de las funciones. Dado que el enfoque de la región de confianza no intenta el paso de Newton a menos que se encuentre dentro del límite de la región, esta característica no aparece con tanta fuerza cuando se utiliza el control de pasos de la región de confianza.
Línea secante frente a línea tangente
Diferentes formas de intersección de tangentes y secantes de circunferenciasEn esta lección veremos las relaciones que se forman al intersecar tangentes y secantes de circunferencias. SecanteLa secante de una circunferencia es una línea o segmento de línea que interseca a la circunferencia en dos puntos. La sobrelínea {AB} es una secante de esta circunferencia.
Teorema de las secantes que se cruzanHay una relación especial entre dos secantes que se cruzan fuera de una circunferencia. La longitud exterior al círculo, multiplicada por la longitud de la secante entera es igual a la longitud exterior de la otra secante multiplicada por la longitud entera de la otra secante. En la siguiente circunferencia, las secantes tangente-secante {AP} y tangente-secante {CP} se intersecan en el punto P,
Teorema de la tangente-secante que se intersecaTambién existe una relación especial entre una tangente y una secante que se intersecan en el exterior de una circunferencia. La longitud de la parte exterior de la tangente, multiplicada por la longitud de la secante completa, es igual a la longitud de la tangente al cuadrado. La tangente y la secante se cruzan en el punto P,
Problemas con la línea de secante
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como hemos visto en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos tiene que preocupar son las cuestiones de notación y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.
Cómo encontrar la ecuación de una recta secante con dos puntos
En la geometría plana euclidiana, una recta tangente a una circunferencia es una recta que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin entrar nunca en el interior de la misma. Las rectas tangentes a las circunferencias son objeto de varios teoremas y desempeñan un papel importante en muchas construcciones y pruebas geométricas. Dado que la recta tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio hasta ese punto, los teoremas sobre las rectas tangentes suelen referirse a rectas radiales y circunferencias ortogonales.
Una recta tangente t a una circunferencia C interseca la circunferencia en un único punto T. Por comparación, las rectas secantes intersecan una circunferencia en dos puntos, mientras que otra recta puede no intersecar una circunferencia en absoluto. Esta propiedad de las rectas tangentes se mantiene bajo muchas transformaciones geométricas, como escalas, rotaciones, traslaciones, inversiones y proyecciones de mapas. En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la línea tangente y el círculo, aunque la línea y el círculo se deformen.
El radio de un círculo es perpendicular a la recta tangente por su punto final en la circunferencia del círculo. A la inversa, la perpendicular a un radio que pasa por el mismo punto final es una recta tangente. La figura geométrica resultante del círculo y la línea tangente tiene una simetría de reflexión en torno al eje del radio.