Eliminación gaussiana en Mathematica
La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo que puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para encontrar la inversa de cualquier matriz invertible. Se basa en tres operaciones elementales de fila que se pueden utilizar en una matriz:
El propósito de la Eliminación de Gauss-Jordan es utilizar las tres operaciones elementales de fila para convertir una matriz en forma escalonada de fila reducida. Una matriz está en forma escalonada reducida, también conocida como forma canónica de filas, si se cumplen las siguientes condiciones:
\A = Inicio de la matriz 1 y 0 y 0 0 y 1 y 3 0 y 0 y 0 y 0 fin, B = inicio de la matriz 1 y 0 y 0. 0 y 1 y 0. 0 y 0 y 1. Fin. 0 y 7 y 3 1 y 0 y 0 0 y 0 y 0 y 0 fin. 1 y 7 y 3 0 y 1 y 0 0 y 0 y 1. \]
Las matrices A y B están en forma escalonada de fila reducida, pero las matrices C y D no lo están. C no está en forma escalonada reducida porque viola las condiciones dos y tres. D no está en forma escalonada reducida porque incumple la condición cuatro. Además, se pueden utilizar las operaciones elementales de fila para reducir la matriz D a la matriz B.
Descomposición de Lu
Resolver sistemas lineales de tres variables y tres ecuaciones es más difícil, al menos al principio, que resolver sistemas de dos variables y dos ecuaciones, porque los cálculos que se realizan son más complicados; hay muchas oportunidades de cometer errores por descuido. (Hablo por dolorosa experiencia.) Así que, cuando pases de los sistemas lineales de dos variables a situaciones más complicadas, tendrás que ser muy ordenado en tu trabajo, y deberías planear usar mucho papel de borrador. Mucho, mucho papel de borrador.
(La metodología para resolver estos sistemas de ecuaciones más grandes es una extensión del método de resolución por adición de dos variables, así que asegúrate de que conoces bien este método y puedes utilizarlo correctamente de forma consistente).
Aunque el método de solución se basa en la adición/eliminación, intentar hacer la adición real tiende a ser rápidamente confuso, por lo que existe un método sistematizado para resolver sistemas lineales de tres o más variables. Este método se llama “eliminación gaussiana”.
(Este método de solución lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, aunque en realidad los europeos habían obtenido este método de Isaac Newton un par de siglos antes, quien lo había ideado de forma independiente unos mil quinientos años después de que los chinos lo hubieran desarrollado).
Descomposición de Gauss jordan vs lu
Encontrar el conjunto de todas las soluciones es resolver el sistema. Para resolver un sistema lineal no se necesitan conjeturas ni buena suerte. Existe un algoritmo que siempre funciona. El siguiente ejemplo presenta ese algoritmo, llamado método de Gauss. Transforma el sistema, paso a paso, en uno con una forma que se resuelve fácilmente.
La mayor parte de esta subsección y la siguiente consisten en ejemplos de resolución de sistemas lineales por el método de Gauss. Lo utilizaremos a lo largo de este libro. Es rápido y fácil. Pero, antes de llegar a esos ejemplos, mostraremos primero que este método también es seguro en el sentido de que nunca pierde soluciones ni recoge soluciones extrañas.
se escriben como una sola operación). En este segundo sistema, las dos últimas ecuaciones implican sólo dos incógnitas. Para terminar, transformamos el segundo sistema en un tercer sistema, en el que la última ecuación implica sólo una incógnita. Esta transformación utiliza la segunda fila para eliminar
{\displaystyle {\begin{array}{*{3}{rc}r}2sin \alpha &-&cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\4sin \alpha &+&2\cos \beta &- &2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9end{array}}
Gauß-algorithmus
La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo que puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para encontrar la inversa de cualquier matriz invertible. Se basa en tres operaciones elementales de fila que se pueden utilizar en una matriz:
El propósito de la Eliminación de Gauss-Jordan es utilizar las tres operaciones elementales de fila para convertir una matriz en forma escalonada de fila reducida. Una matriz está en forma escalonada reducida, también conocida como forma canónica de filas, si se cumplen las siguientes condiciones:
\A = Inicio de la matriz 1 y 0 y 0 0 y 1 y 3 0 y 0 y 0 y 0 fin, B = inicio de la matriz 1 y 0 y 0. 0 y 1 y 0. 0 y 0 y 1. Fin. 0 y 7 y 3 1 y 0 y 0 0 y 0 y 0 y 0 fin. 1 y 7 y 3 0 y 1 y 0 0 y 0 y 1. \]
Las matrices A y B están en forma escalonada de fila reducida, pero las matrices C y D no lo están. C no está en forma escalonada reducida porque viola las condiciones dos y tres. D no está en forma escalonada reducida porque incumple la condición cuatro. Además, se pueden utilizar las operaciones elementales de fila para reducir la matriz D a la matriz B.