Resolver ecuaciones lineales gráficamente
Hasta ahora has obtenido las soluciones de una ecuación lineal en dos variables de forma algebraica. Ahora vamos a ver su representación geométrica. Sabes que cada ecuación tiene infinitas soluciones. ¿Cómo podemos representarlas en el plano de coordenadas? Es posible que tengas alguna indicación en la que escribimos la solución como pares de valores. Las soluciones de la ecuación lineal del ejemplo 3, a saber,
En el capítulo anterior, estudiaste cómo trazar los puntos en un papel cuadriculado. Vamos a trazar los puntos (0, 3), (2, 2), (4, 1) y (6, 0) en un papel cuadriculado. Ahora unimos dos puntos cualesquiera y obtenemos una recta. Llamémosla recta AB.
¿Ves que los otros dos puntos también están sobre la recta AB? Ahora, elige otro punto de esta recta, por ejemplo (8, -1). ¿Es una solución? De hecho, 8 + 2(-1) = 6. Por lo tanto, (8, -1) es una solución. Elige cualquier otro punto de esta recta AB y comprueba si sus coordenadas satisfacen la ecuación o no. Ahora, toma un punto cualquiera que no esté sobre la recta AB, por ejemplo (2, 0). ¿Sus coordenadas satisfacen la ecuación? Comprueba que no.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de gráficas clave de respuestas
Si las dos ecuaciones lineales tienen la misma pendiente (y diferentes intersecciones y), las rectas serán paralelas. Como las líneas paralelas nunca se cruzan, un sistema compuesto por dos líneas paralelas NO tendrá solución (no hay intersección de las líneas).
Si las dos ecuaciones lineales tienen la misma pendiente (y la MISMA intersección y), las ecuaciones representan la misma recta. Como una recta se cruza consigo misma en todas partes, habrá un número infinito de soluciones (que se cruzan en todas partes).
El método de graficación en papel cuadriculado puede ser útil cuando el punto de intersección tiene coordenadas enteras (como se ve en el ejemplo anterior). Sin embargo, es menos útil cuando las coordenadas no son enteras. Si parece que el punto de intersección no se encuentra en la intersección de las cuadrículas del papel cuadriculado, prueba un método de solución algebraica o coge tu calculadora gráfica.
Ejemplos de gráficos de sistemas de ecuaciones lineales
En este artículo aprenderemos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales considerando sus gráficas e identificando el punto de intersección.Cuando se nos pide que resolvamos un sistema de ecuaciones, esto significa que estamos buscando un conjunto de valores para las variables que satisfagan cada ecuación. Para ver cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones gráficamente, consideremos el siguiente ejemplo:
=+1,=-2+4.Primero notamos que estas ecuaciones son en realidad funciones lineales. Como hay dos ecuaciones, lo llamamos sistema de dos ecuaciones lineales y queremos encontrar los valores – y – que satisfacen ambas ecuaciones. Digamos que =
y = es una solución de ambas ecuaciones. Podemos entonces determinar los valores potenciales de y gráficamente. Observamos que como =+1, sabemos que el punto (,) se encuentra en la gráfica de la primera ecuación. Del mismo modo,
Podemos dibujar las gráficas de estas ecuaciones observando que ambas ecuaciones representan rectas en el plano de coordenadas. De hecho, están dadas en
Consistencia e independencia de un sistema de ecuaciones lineales
Si un sistema de ecuaciones consiste sólo en un par de ecuaciones lineales de dos variables, entonces la ecuación de este sistema se puede graficar; la gráfica contendrá dos rectas, y la solución del sistema será el punto o puntos de intersección de esas rectas. Dado que dos rectas en el plano sólo pueden graficarse de tres maneras, sólo hay tres formas correspondientes de solución para un sistema de ecuaciones dado.
Dos rectas (1) tienen diferentes pendientes e intersecciones, por lo que se cruzan exactamente en un punto, (2) son paralelas con diferentes intersecciones, por lo que nunca se cruzan en ningún punto, o (3) tienen la misma pendiente e intersecciones, por lo que son realmente la misma línea, por lo que se “cruzan” en todas partes (donde “en todas partes” significa que “en todas partes la línea va, también va la otra línea; tienen todos sus puntos – infinitamente muchos puntos – en común”). Estos tres casos de pares de rectas se ilustran a continuación:
El primer gráfico de arriba, que es el “caso 1” de la columna de la izquierda, muestra dos rectas distintas no paralelas que se cruzan exactamente en un punto. El sistema de ecuaciones correspondiente se denomina sistema “independiente” y la solución es un único punto (x,y).