Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes pdf
En un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, existe una solución única si y sólo si, (a) el número de incógnitas y el número de ecuaciones son iguales, (b) todas las ecuaciones son consistentes, y (c) no hay dependencia lineal entre dos o más ecuaciones, es decir, todas las ecuaciones son independientes.
En un sistema de ecuaciones lineales simultáneas si una o más ecuaciones son inconsistentes, el sistema no tiene ninguna solución. Por ejemplo, si en un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con dos ecuaciones y dos incógnitas, una ecuación es \(x+y=2\) y otra ecuación es \(3x+3y=5\), estas dos ecuaciones son inconsistentes dentro del sistema dado. Son inconsistentes porque si \(x+y=2\), entonces \(3x+3y\) debe ser \(6\), no \(5\). No se puede resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas \(x+y=2\) y \(3x+3y=5\) ya que son inconsistentes.
Gráficamente, la solución de dos ecuaciones lineales simultáneas en dos incógnitas equivale a encontrar dónde se cruzan las rectas de las dos ecuaciones. Si estas dos ecuaciones son incoherentes, las rectas correspondientes en el plano cartesiano son paralelas y nunca se cruzan (ver pregunta de práctica 2).
Fórmula del método determinante
Una matriz cuadrada de números o variables encerrada entre líneas verticales se llama determinante. Un determinante se diferencia de una matriz en que un determinante tiene un valor numérico, mientras que una matriz no lo tiene. El siguiente determinante tiene dos filas y dos columnas.
Para resolver este sistema, se crean tres determinantes. Uno se llama el determinante del denominador, etiquetado D; otro es el determinante del numerador x, etiquetado D x; y el tercero es el determinante del numerador y, etiquetado D y .
Muchas veces, la búsqueda de soluciones mediante el uso de determinantes se denomina Regla de Cramer, en honor al matemático que ideó este método. La regla de Cramer no se puede considerar un “atajo”, pero es una forma bastante clara de resolver sistemas de ecuaciones utilizando determinantes.
Método determinante de resolución de ecuaciones lineales
Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números formada por filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas n y el número de columnas m. Por ejemplo, una matriz de 3×4, léase “matriz de 3 por 4”, es aquella que consta de 3 filas y 4 columnas. Una matriz cuadradaUna matriz con el mismo número de filas y columnas. es una matriz en la que el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de las matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz A de 2×2 coeficientes,
Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general de 2×2 y resolvemos para y. Para eliminar la variable x, multiplicamos la primera ecuación por -a2 y la segunda ecuación por a1.
Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho al determinante de una matriz de 2×2. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al sustituir la columna que representa los coeficientes de y por la correspondiente columna de constantes. Esta matriz especial se denomina Dy.
Resolución de ecuaciones de 3 variables mediante determinantes
Mientras estudiaba métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales me encontré con un método llamado “algoritmo de Gauss” del cual dudo si es su nombre real o no, pero no puedo entender POR QUÉ funciona.
Donde esos determinantes se calculaban usando la primera y la segunda fila de la matriz del sistema de ecuaciones. Entonces los otros coeficientes -3 y 7 y el término independiente 20 se encontraron calculando los determinantes respectivos como arriba pero usando la primera y tercera fila de la matriz del sistema de ecuaciones.