Fórmula del método determinante
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir los patrones específicos que se describen en esta sección.
Resuelve este sistema lineal utilizando los determinantes 2x+3y=6
Una matriz cuadrada de números o variables encerrada entre líneas verticales se llama determinante. Un determinante se diferencia de una matriz en que un determinante tiene un valor numérico, mientras que una matriz no lo tiene. El siguiente determinante tiene dos filas y dos columnas.
Para resolver este sistema, se crean tres determinantes. Uno se llama el determinante del denominador, etiquetado D; otro es el determinante del numerador x, etiquetado D x; y el tercero es el determinante del numerador y, etiquetado D y .
Muchas veces, la búsqueda de soluciones mediante el uso de determinantes se denomina Regla de Cramer, en honor al matemático que ideó este método. La regla de Cramer no se puede considerar un “atajo”, pero es una forma bastante clara de resolver sistemas de ecuaciones utilizando determinantes.
¿Qué determinantes se pueden utilizar para resolver x e y en el sistema de ecuaciones lineales de abajo?
Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene un número real asociado llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada [abcd],
{: valign=”top”}{: .unnumbered .unstyled summary=”La fila 1 de la matriz de 2 por 2 es 4, menos 2. La fila 2 es 3, menos 1. Lo mismo se escribe en forma de determinante con flechas diagonales. Restando los productos de las diagonales, obtenemos 4 veces menos 1 menos 3 veces menos 2. Simplificamos para obtener 2.” data-label=””}
{: valign=”top”}{: .unnumbered .unstyled summary=”La fila 1 de la matriz de 2 por 2 es menos 3, menos 4. La fila 2 es menos 2, 0. Lo mismo se escribe en forma de determinante con flechas diagonales. Restando los productos de las diagonales, obtenemos menos 3 por 0 menos 2 por menos 4. Simplificamos para obtener menos 8.” data-label=””}
{: valign=”top”}{: .unnumbered .unstyled summary=”La primera fila del determinante de 3 por 3 es 4, menos 2, 3. La fila 2 es 1, 0, menos 3. La fila 3 es menos 2, menos 4, 2. Eliminando la fila y la columna que contienen a1, obtenemos el menor de a1. Este determinante de 2 por 2 tiene la fila 1: 0, menos 3 y la fila 2: menos 4, 2. Evaluar y simplificar para obtener menos 12.” data-label=””}
Calculadora de solución determinante de sistemas lineales
Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números formada por filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas n y el número de columnas m. Por ejemplo, una matriz de 3×4, léase “matriz de 3 por 4”, es aquella que consta de 3 filas y 4 columnas. Una matriz cuadradaUna matriz con el mismo número de filas y columnas. es una matriz en la que el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de las matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz A de 2×2 coeficientes,
Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general de 2×2 y resolvemos para y. Para eliminar la variable x, multiplicamos la primera ecuación por -a2 y la segunda ecuación por a1.
Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho al determinante de una matriz de 2×2. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al sustituir la columna que representa los coeficientes de y por la correspondiente columna de constantes. Esta matriz especial se denomina Dy.