Solución única de un sistema de ecuaciones lineales
Los problemas prácticos en muchos campos de estudio -como la biología, la empresa, la química, la informática, la economía, la electrónica, la ingeniería, la física y las ciencias sociales- pueden reducirse a menudo a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. El álgebra lineal surgió de los intentos de encontrar métodos sistemáticos para resolver estos sistemas, por lo que es natural comenzar este libro estudiando las ecuaciones lineales.
La ecuación lineal es una línea recta (si y no son ambos cero), por lo que tal ecuación se llama ecuación lineal en las variables y . Sin embargo, a menudo es conveniente escribir las variables como , particularmente cuando hay más de dos variables involucradas. Una ecuación de la forma
se llama ecuación lineal en las variables . Aquí denotan números reales (llamados coeficientes de , respectivamente) y es también un número (llamado término constante de la ecuación). Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables se llama sistema de ecuaciones lineales en dichas variables. Por lo tanto,
Un sistema puede no tener ninguna solución, o puede tener una solución única, o puede tener una familia infinita de soluciones. Por ejemplo, el sistema , no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser 2 y 3 simultáneamente. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente; un sistema con al menos una solución se llama consistente.
Ejemplos de solución de ecuaciones lineales
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener beneficios? En esta sección, consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Solución del sistema de ecuaciones lineales por el método matricial
Hemos trabajado con dos tipos de ecuaciones: ecuaciones con una variable y ecuaciones con dos variables. En general, podemos encontrar un número limitado de soluciones a una sola ecuación con una variable, mientras que podemos encontrar un número infinito de soluciones a una sola ecuación con dos variables. Esto se debe a que una única ecuación con dos variables está infradeterminada: hay más variables que ecuaciones. ¿Pero qué pasa si añadimos otra ecuación?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de la variable que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Para resolver un sistema de ecuaciones hay que encontrar todos los conjuntos de valores de las variables que constituyen soluciones del sistema.
Cuando graficamos una ecuación lineal en dos variables como una recta en el plano, todos los puntos de esta recta corresponden a pares ordenados que satisfacen la ecuación. Así, cuando graficamos dos ecuaciones, todos los puntos de intersección -los puntos que se encuentran en ambas rectas- son los puntos que satisfacen ambas ecuaciones.
Hoja de trabajo de soluciones a ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección, veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables que consisten en dos ecuaciones que contienen cada una dos variables diferentes. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación independientemente. En este ejemplo, el par ordenado [latex](4, 7)[/latex] es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos los métodos para encontrar dicha solución, si es que existe.