Economía de la ecuación de Euler
Esto puede suscitar inmediatamente cierta controversia, no sobre la elección de la fórmula, sino quizás sobre cómo debería llamarse: un teorema, una identidad, una igualdad, una fórmula, una ecuación,… Un teorema o una fórmula se aplican, pero son términos bastante generales. Los otros se refieren a fórmulas con un signo de igualdad. El término identidad supone que hay una variable implicada y que la fórmula se mantiene sea cual sea el valor de esa variable. Esto se aplica a la identidad de Euler, que es la fórmula relacionada $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$. La fórmula anterior aparece como un caso especial de esta identidad. Wilson llama a la fórmula anterior “ecuación”, pero el lector con cierta afinidad con el idioma francés probablemente preferirá llamarla igualdad, porque el francés équation significa que hay que resolverla para una variable desconocida. Pero todos los nombres anteriores se han utilizado indistintamente para indicar la fórmula. Llamarla identidad de Euler puede no ser lo más correcto, pero es probablemente la terminología más común.
Se llame como se llame, la descripción, si no la más bella, sin duda el calificativo de más importante o más notable, sería bien merecido. Se trata de cinco constantes matemáticas fundamentales: 1,0,π,e, e i en una simple relación. El 1 genera los números de conteo. El cero tardó en ser aceptado como número, pero también los números negativos fueron considerados inicialmente como exóticos. Los números racionales aparecían de forma natural en los cálculos, pero también números como √2 y π. Estos requerían una extensión de los racionales con irracionales algebraicos como √2 y los trascendentales como π lo que da lugar a los reales que los incluyen a todos. La constante e (notación de Euler) se relaciona con los logaritmos y su inversa la función exponencial que crece más rápido que cualquier polinomio. Finalmente la constante imaginaria i = √-1 (que es otra notación introducida por Euler) era necesaria para resolver cualquier ecuación cuadrática. Esta i permitió introducir los números complejos para poder demostrar el teorema fundamental del álgebra. La exponencial y la exponencial compleja son esenciales en las matemáticas aplicadas. La identidad de Euler es muy destacable porque relaciona el crecimiento o decrecimiento exponencial de la exponencial real, y el comportamiento oscilante de los senos y cosenos en el caso complejo.
Ecuación diferencial de Cauchy euler
En matemáticas, una ecuación de Euler-Cauchy, o ecuación de Cauchy-Euler, o simplemente ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes variables. A veces se denomina ecuación equidimensional. Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial puede resolverse explícitamente.
La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden, que aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es[1][2]
Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación diferencial lineal de N-ésimo orden es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. Aplicando la reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m1 se obtendrán expresiones que implican una versión discreta de ln,
Fórmula de Euler teoría de los gráficos
La fórmula de Euler conecta exponenciales complejas, coordenadas polares y senos y cosenos. Convierte las complicadas identidades trigonométricas en reglas ordenadas para las exponenciales. La usaremos mucho. La fórmula es la siguiente:
\ ~ – [\ ~ – comenzar {align*} e^ {ia} \cdot e^{ib} & = (\cos (a) + i \sin (a)) \cdot (\cos (b) + i \sin (b)) \[4pt] & = \cos (a) \cos (b) – \sin (a) \sin (b) + i (\cos (a) \sin (b) + \sin (a) \cos (b)) \\\sin[4pt] & = \cos (a + b) + i \sin (a + b) = e^{i (a + b)}. \end{align*}\\N – [\N -]
\N – [\begin{align*} e^x & = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + … \N -cos (x) & = 1 – \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} – \dfrac{x^6}{6!} ¡+ \ldots \\\\ ~ \ ~ – x (x) & = x – \dfrac{x^3}{3! + \dfrac{x^5}{5!} + … \end{align*}]
|align*} e^{i \_theta} & = \{sum_{0}^{\infty} \dfrac{(i\theta)^n}{n!} \\& = suma_0^{infty} (-1)^k \dfrac{\theta ^{2k}} {(2k)!} + i \sum_{0}^{infty} (-1)^k \dfrac{\theta ^{2k + 1}}{(2k + 1)!} \ {4pt] & = \cos (\theta) + i \sin (\theta). \end{align*}]
Prueba de la identidad de Euler
“la fórmula más notable de las matemáticas”. Creo que Feynman tenía razón. Hay pocas ecuaciones más útiles en las matemáticas superiores. La capacidad de interconvertir entre representaciones trigonométricas y exponenciales de la misma función es inmensamente valiosa.
La fórmula de Euler fue descubierta por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). Si tiene la oportunidad, merece la pena leer sobre la vida de Euler en las matemáticas y la ciencia. Pocos han hecho la variedad de contribuciones que él hizo. En esta sección demostraremos la fórmula de Euler y la utilizaremos para relacionar la trigonometría del círculo unitario con la trigonometría hiperbólica (funciones hiperbólicas).
Hay varias formas de llegar a la ecuación de Euler, pero nosotros lo haremos encontrando la serie de MacLaurin (serie de Taylor centrada en x = 0) de $f(x) = e^{ix}.$ Primero tendremos que calcular algunas derivadas y encontrar sus valores en x = 0. Aquí están:
Esta interesante identidad es realmente sorprendente. Es una combinación del número trascendental π, el número imaginario i y la base de todas las funciones exponenciales de crecimiento continuo, e – una mezcla ecléctica, sin duda.