Factorización de polinomios de 4º grado
Para factorizar un polinomio de grado 3 o más, podemos utilizar el método de la división sintética. En este método, encontraremos los factores de un polinomio por ensayo y error. Para aprender la división sintética paso a paso, haz clic aquí. Ejemplo 1 :Factoriza el siguiente polinomio dado que el producto de dos de los ceros es 8.×4 + 2×3 – 25×2 – 26x + 120 Solución :Como el producto dos de los ceros es 8, podemos probar con 2 y 4 en la división sintética.
x = 2 y x = 4 son los dos ceros del polinomio dado de grado 4.Como x = 2 y x = 4 son los dos ceros del polinomio dado, los dos factores son (x – 2) y (x – 4). Para encontrar otros factores, factoriza la expresión cuadrática que tiene los coeficientes 1, 8 y 15. Es decir, x2 + 8x + 15.×2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)Por tanto, los factores del polinomio dado son (x – 2), (x – 4), (x + 3) y (x + 5)Ejemplo 2 :Factor : x4 – 10×3 + 37×2 – 60x + 36Solución :Por ensayo y error, podemos comprobar si 1 es un cero del polinomio anterior.
Dado que x = 2 y x = 3 son los dos ceros del polinomio dado, los dos factores son (x – 2) y (x – 3). Para encontrar otros factores, factoriza la expresión cuadrática que tiene los coeficientes 1, -5 y 6.Es decir, x2 – 5x + 6.x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)Así, los factores del polinomio dado son (x – 2), (x – 3), (x – 2) y (x – 3)
Ejemplo de polinomio de cuarto grado
En un ejercicio te piden que uses la regla de Ruffini. Estás a punto de hacerlo, pero te das cuenta de que no sabes ni cómo empezar. Has visto a tu profesor en clase hacerlo varias veces, pero ahora no sabes cómo conozco el método de Ruffini
Para resolver las ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las de segundo grado utilizamos otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayores, o lo que es lo mismo, para las ecuaciones de más de dos grados, utilizamos el método de Ruffini.
Lo que nos queda en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número a la izquierda de 0 tiene grado 0 y es creciente de 1 en 1 a la izquierda. En este caso, tenemos el equivalente a tener esta ecuación:
Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es el 2 (la a del binomio x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la última columna o no. El resultado será el resto de la división:
Cómo encontrar la ecuación de un polinomio de 4º grado
Para factorizar un polinomio de grado 3 o más, podemos utilizar el método de la división sintética. En este método, encontraremos los factores de un polinomio por ensayo y error. Para aprender la división sintética paso a paso, haz clic aquí. Ejemplo 1 :Factoriza el siguiente polinomio dado que el producto de dos de los ceros es 8.×4 + 2×3 – 25×2 – 26x + 120 Solución :Como el producto dos de los ceros es 8, podemos probar con 2 y 4 en la división sintética.
x = 2 y x = 4 son los dos ceros del polinomio dado de grado 4.Como x = 2 y x = 4 son los dos ceros del polinomio dado, los dos factores son (x – 2) y (x – 4). Para encontrar otros factores, factoriza la expresión cuadrática que tiene los coeficientes 1, 8 y 15. Es decir, x2 + 8x + 15.×2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)Por tanto, los factores del polinomio dado son (x – 2), (x – 4), (x + 3) y (x + 5)Ejemplo 2 :Factor : x4 – 10×3 + 37×2 – 60x + 36Solución :Por ensayo y error, podemos comprobar si 1 es un cero del polinomio anterior.
Dado que x = 2 y x = 3 son los dos ceros del polinomio dado, los dos factores son (x – 2) y (x – 3). Para encontrar otros factores, factoriza la expresión cuadrática que tiene los coeficientes 1, -5 y 6.Es decir, x2 – 5x + 6.x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)Así, los factores del polinomio dado son (x – 2), (x – 3), (x – 2) y (x – 3)
Fórmula cuártica
¿Qué es una función cuártica? Una función cuártica es un polinomio cuártico, es decir, un polinomio con coeficientes enteros cuyo mayor grado es cuatro. El coeficiente de la variable de cuarto grado no puede ser cero. Ejemplos de funciones cuárticas son {eq}3x^4-2x^3+x^2+4 {/eq}, o {eq}x^4-1 {/eq} o {eq}-2x^4-3x^3+5 {/eq}. Otros coeficientes pueden ser cero, pero no el coeficiente del primer término. Una forma especial del polinomio cuaternario, en la forma {eq}ax^4+bx^2+c {/eq}, se llama bicadrática. Los coeficientes de {eq}x^3 {/eq} y {eq}x^1 {/eq} son cero, por lo que parece una ecuación cuadrática.
La división sintética produce un resto de 0, por lo que la ecuación anterior puede reescribirse como {eq}(x-1)(x^3-3x^2-4x+12) {/eq}. Para probar otra posible raíz, prueba con el número {eq}2 {/eq} en la ecuación cúbica. Esto produce {eq}8-12-8+12=0 {/eq}. Sí. ¡Otra raíz! Esta vez, utiliza la división larga para reducir la ecuación a algo más sencillo:
Usando una calculadora gráfica, encuentra el punto donde la función cruza el eje x. Las raíces están en los puntos en los que la gráfica cruza el eje x, o, en otras palabras, {eq}x=0 {/eq}. Para esta función, las raíces son {eq}x= -3,42, 1,157 {/eq} redondeadas para simplificar. Estas serán las dos únicas soluciones reales. Ahora observa la gráfica de {eq}x^4-16 {/eq} (Figura 4).