Tipos de ecuaciones diferenciales
Por ejemplo, cuando la posición es cero (es decir, el muelle no está ni estirado ni comprimido), la velocidad no cambia. Esto tiene sentido, porque el muelle no está ejerciendo una fuerza en ese momento.
Para una ecuación diferencial, la solución no es un valor único, sino una función. La tarea consiste en encontrar una función cuyas diversas derivadas se ajusten a la ecuación diferencial durante un largo periodo de tiempo. Por ejemplo,
son constantes indeterminadas. Es fácil confirmar que se tiene una solución: ¡sólo hay que introducir la solución en la ecuación diferencial! Para nuestro ejemplo, encontramos la primera y la segunda derivada (ver el repaso de matemáticas para saber cómo encontrar estas derivadas… ¡es bastante fácil!)
. ¿Cómo averiguamos cuáles son? Se fijan en función de las condiciones iniciales, que son los valores iniciales particulares de las variables. Por ejemplo, en la simulación de un muelle, las condiciones iniciales son la posición y la velocidad iniciales del bloque en el momento
Solucionador de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales surgen siempre que se conoce o se postula una relación determinista en la que intervienen algunas cantidades que varían continuamente (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio y/o el tiempo (expresadas como derivadas).
Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un papel prominente en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía y la biología.Diferentes tipos de ecuaciones diferencialesOrdinarias y parcialesUna ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial en la que la función desconocida (también conocida como la variable dependiente) es una función de una sola variable independiente. En la forma más sencilla, la función desconocida es una función de valor real o complejo, pero en general, puede ser de valor vectorial o matricial: esto corresponde a considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para una sola función.Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican además según el orden de la derivada más alta de la variable dependiente con respecto a la variable independiente que aparece en la ecuación. Los casos más importantes para las aplicaciones son las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Por ejemplo, la ecuación diferencial de Bessel
Ejemplo de ecuación diferencial
Una ecuación que contiene la derivada de una función desconocida se llama ecuación diferencial. La tasa de cambio de una función en un punto está definida por las derivadas de la función. Una ecuación diferencial relaciona estas derivadas con las demás funciones. Las ecuaciones diferenciales se utilizan principalmente en los campos de la biología, la física, la ingeniería y muchos otros. El objetivo principal de la ecuación diferencial es estudiar las soluciones que satisfacen las ecuaciones y las propiedades de las soluciones. Vamos a discutir la definición, los tipos, los métodos para resolver la ecuación diferencial, el orden y el grado de la ecuación diferencial, los tipos de ecuaciones diferenciales, con ejemplos del mundo real y problemas de práctica.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene al menos una derivada de una función desconocida, ya sea una derivada ordinaria o una derivada parcial. Supongamos que la tasa de cambio de una función y con respecto a x es inversamente proporcional a y, lo expresamos como dy/dx = k/y.
En cálculo, una ecuación diferencial es una ecuación que involucra la derivada (derivados) de la variable dependiente con respecto a la variable independiente (variables). La derivada no representa más que una tasa de cambio, y la ecuación diferencial nos ayuda a presentar una relación entre la cantidad que cambia con respecto al cambio de otra cantidad. y=f(x) sea una función donde y es una variable dependiente, f es una función desconocida, x es una variable independiente. He aquí algunas ecuaciones diferenciales.
Khan academy ecuaciones diferenciales
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He intentado que estos apuntes sean lo más autocontenidos posible, por lo que toda la información necesaria para leerlos es de una clase de Cálculo o Álgebra o está contenida en otras secciones de los apuntes.
Conceptos básicos – En este capítulo introducimos muchos de los conceptos y definiciones básicas que se encuentran en un curso típico de ecuaciones diferenciales. También echaremos un vistazo a los campos de dirección y cómo pueden utilizarse para determinar algunos de los comportamientos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Definiciones – En esta sección se introducen algunas de las definiciones y conceptos comunes en un curso de ecuaciones diferenciales, incluyendo orden, lineal vs. no lineal, condiciones iniciales, problema de valor inicial e intervalo de validez.