Ejemplos de ecuaciones de segundo grado
Desde hace mucho tiempo, los matemáticos han mostrado un gran interés por la resolución de ecuaciones de segundo grado (también conocidas como ecuaciones cuadráticas), es decir, ecuaciones cuyo mayor grado contiene x2 (utilizando las notaciones modernas habituales). Así, el primer texto conocido que se refiere a estas últimas se remonta a dos mil años antes de nuestra era, en la época de los babilonios. Es entonces Al-Khwarizmi, durante el siglo IX, quien estableció las fórmulas para la resolución sistemática de estas ecuaciones (por favor, consulte los enlaces dados al final de este post para los aspectos históricos).
En la actualidad, la metodología para resolver ecuaciones de segundo grado se basa en su forma canónica. Por ejemplo, si consideramos la ecuación x2 + 2x – 3 = 0, el trinomio x2 + 2x – 3 es como el principio de una identidad notable. En efecto, podemos escribir:
Sabemos que un producto de términos es igual a cero si y sólo si al menos uno de los términos es igual a cero (esto se debe a que el cero es el elemento absorbente de la operación de multiplicación). Por lo tanto, esta regla conduce al sistema:
Solucionador de ecuaciones cuadráticas
Muchas ecuaciones cuadráticas no se pueden resolver mediante la factorización. Esto suele ocurrir cuando las raíces, o las respuestas, no son números racionales. Un segundo método para resolver ecuaciones cuadráticas implica el uso de la siguiente fórmula:
Al utilizar la fórmula cuadrática, debes tener en cuenta tres posibilidades. Estas tres posibilidades se distinguen por una parte de la fórmula llamada discriminante. El discriminante es el valor bajo el signo radical, b 2 – 4 ac. Una ecuación cuadrática con números reales como coeficientes puede tener lo siguiente:
No tiene solución en el sistema de números reales. Te puede interesar saber que el proceso de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas se utilizó en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 para derivar la fórmula cuadrática.
Ejercicios de ecuaciones de segundo grado
y varios términos y/o constantes. Factorizar un polinomio significa descomponer la expresión en expresiones más pequeñas que se multiplican entre sí. Estas habilidades son de Álgebra I y superiores, y pueden ser difíciles de entender si tus habilidades matemáticas no están a este nivel.
Si tienes un polinomio bastante sencillo, puede que seas capaz de averiguar los factores tú mismo sólo con la vista. Por ejemplo, después de practicar, muchos matemáticos son capaces de saber que la expresión 4×2 + 4x + 1 tiene los factores (2x + 1) y (2x + 1) sólo por haberla visto tanto. (Obviamente, esto no será tan fácil con polinomios más complicados). Para este ejemplo, vamos a utilizar una expresión menos común:
Este método identificará todos los posibles factores de los términos a y c y los utilizará para averiguar cuáles deben ser los factores. Si los números son muy grandes o si otros métodos de tipo adivinatorio parecen llevar demasiado tiempo, utiliza este método[3].
Si te permiten usar una, una calculadora gráfica facilita mucho el proceso de factorización, especialmente en los exámenes estandarizados. Estas instrucciones son para una calculadora gráfica TI. Utilizaremos la ecuación de ejemplo:
¿Cuál de las siguientes es una ecuación de segundo grado
Simplificando la ecuación llegamos a que es verdadera todo el tiempo, no depende del valor de , por lo que no importa el valor de la ecuación es siempre verdadera, y como tiene infinitos valores posibles tenemos infinitas soluciones para esta ecuación.
Elegimos 2 valores de y obtenemos el valor respectivo de y luego graficamos los dos puntos en un plano y el nuevo trazamos la recta que pasa por los dos puntos, y la coordenada del punto de intersección de la recta y el eje x es la solución de la ecuación.
Llamamos ecuación de segundo grado, a toda ecuación con la forma estándar con , y siendo números reales y distintos de cero. Se llama ecuación de segundo grado porque la mayor potencia de en esta ecuación es 2 (es decir ).
Ahora la resolución es sencilla ya que tenemos el producto de dos de primer grado igual a cero entonces sabemos con seguridad que o el primer término del producto es igual a cero o el segundo es igual a cero, lo que significa que o , resolvemos cada término de primer grado del lado izquierdo, obtenemos: